Радиометрические и фотометрические единицы можно связать между собой при помощи функции чувствительности человеческого глаза V(X), иногда называемой функцией световой эффективности. В 1924 г. Международная комиссия по освещению, МКО (CIE), ввела понятие функции чувствительности человеческого глаза в режиме фотопического зрения для точечных источников излучения и угла наблюдения 2° (CIE, 1931). Эта функция, получившая название функции МКО 1931 г., до сих пор является фотометрическим стандартом в США 0.

Джудд и Вое в 1978 г. ввели модифицированную функциюV{\) (Vos, 1978; Wyszeckl, Stiles, 1982, 2000), которая в этой книге будет называться функцией МКО 1978 г. Изменения были связаны с не совсем правильной оценкой чувствительности человеческого глаза в голубом и фиолетовом диапазонах спектра, принятой в 1931 г. Модифицированная функция F(A) в спектральном диапазоне длин волн меньше 460 нм имеет более высокие значения. МКО одобрила введение функции У(Л) 1978 г. постановив, что «функцию чувствительности человеческого глаза для точечных источников излучения можно представлять в виде модифицированной функции У(А) Джудда» (CIE, 1988). Более того, в 1990 г. МКО вынесла резолюцию: «в случаях проведения измерений яркости в диапазоне коротких длин волн, согласованных с определением цвета, наблюдателем, расположенным по нормали к источнику излучения, предпочтительнее пользоваться модифицированной функцией Джудда» (CIE, 1990).

На рис. 16.6 показаны функцииV{X) МКО 1931 г. и 1978 г. Максимальная чувствительность глаза приходится на длину волны 555 нм, находящуюся в зеленой области спектра. На этой длине волны чувствительность глаза равна 1, т. е. У(555 нм) = 1. Видно, что в функции У (А) МКО 1931 г. занижена чувствительность человеческого глаза в голубой области спектра (А < 460 нм). В приложении 16.П1 приведены численные значения функций У (А) 1931 г. и 1878 г.

‘) Этот стандарт действует и в России.

На рис. 16.6 также показана функция У"(А) чувствительности человеческого глаза для режима скотопического зрения. Пик чувствительности в режиме скотопического зрения приходится на длину волны 507 нм. Это значение намного меньше длины волны максимума чувствительности в режиме фотопического зрения. Численные значения функцииV"{\) МКО 1951 г. приведены в приложении 16.П2.

Отметим, что, хотя в ряде случаев функция У (Л) МКО 1978 г. является предпочтительной, она все же не относится к категории стандартов, поскольку изменение стандартов часто приводит к возникновению неопределенностей. Однако несмотря на это, на практике она используется довольно часто (WyszeckiandStiles, 2000). Функцию У(Л) МКО 1978 г., показанную на рис. 16.7, можно считать наиболее точным описанием вариаций чувствительности человеческого глаза в режиме фотопического зрения.

Для нахождения функции чувствительности человеческого глаза используется метод минимальной вспьшки, являющийся классическим способом сравнения источников света по яркости и определения

Рис. 16.6. Сравнение функций чувствительности человеческого глазаV{\) МКО 1978 и 1931 годов для фотопического режима зрения. Здесь также показана функция чувствительности глазаV"{\) в режиме скотопического зрения, которая используется при низких уровнях внешней освещенности

Рис. 16.7. У(Л) (левая ось ординат) и световая отдача измеренная в люменах на ватт оптической мощности (правая ось ординат). Максимум чувствительности человеческого глаза приходится на длину волны 555 нм (данные МКО, 1978)

функции У(А). В соответствии с этим методом небольшая круглая светоизлучающая поверхность поочередно (с частотой 15 Гц) осве- шается источниками эталонного и сравниваемого цветов. Поскольку частота слияния цветовых оттенков ниже 15 Гц, цвета чередующихся сигналов будут неразличимы. Однако частота слияния входных сигналов по яркости всегда выше 15 Гц, поэтому, если два цветовых сигнала различаются по яркости, наблюдается видимая вспышка. Цель исследователя - регулировать цвет тестируемого источника излучения до тех пор, пока наблюдаемая вспышка не станет минимальной.

Изменением распределения спектральной мощности излучения Р(Л) можно добиться получения любого желательного цветового оттенка. Один из вариантов этого распределения характеризуется максимально возможной световой отдачей. Добиться предельной световой отдачи можно смешением излучения определенной интенсивности от двух монохроматических источников света (МаеAdam, 1950). На рис. 16.8 показаны максимально достижимые значения световой отдачи, получаемые при помощи одной пары монохроматических источников излучения. Максимальная световая отдача белого света зависит от цветовой температуры. При цветовой температуре

Рис. 16.8. Взаимосвязь между максимально возможной световой отдачей (лм/Вт) и координатами цветности {х,у) на цветовой диаграмме МКО 1931 г.

6500 К она составляет ~ 420 лм/Вт, а при более низких цветовых температурах она может превысить ~ 500 лм/Вт. Точное значение световой отдачи определяется положением интересующего оттенка в пределах диапазона белого цвета на цветовой диаграмме.

Передаточная функция реального объекта P(s) может изменяться в процессе функционирования на величину ДP(s),например, вследствие изменения нагрузки на валу двигателя, числа яиц в инкубаторе, уровня или состава жидкости в автоклаве, вследствие старения и износа материала, появления люфта, изменения смазки и т.п. Правильно спроектированная система автоматического регулирования должна сохранять свои показатели качества не только в идеальных условиях, но и при наличии перечисленных вредных факторов. Для оценки влияния относительного изменения передаточной функции объекта ДP/P на передаточную функцию замкнутой системы Gcl

y(s) = r(s), Gcl(s) = (8)

найдём дифференциал dGcl:

Поделив обе части этого равенства на Gcl и подставив в правую часть Gcl = PR/(1+PR), получим:

Рисунок 17 - Оценка запаса по усилению и фазе для системы с годографом, показанным на рисунке 15

Из (10) виден смысл коэффициента S - он характеризует степень влияния относительного изменения передаточной функции объекта на относительное изменение передаточной функции замкнутого контура, то есть S является коэффициентом чувствительности замкнутого контура к вариации передаточной функции объекта. Поскольку коэффициент S = S(jщ) является частотно-зависимым, его называют функцией чувствительности .

Как следует из (10),

Введём обозначение:

Величина T называется комплементарной (дополнительной) функцией чувствительности , поскольку S + T = 1. Функция чувствительности позволяет оценить изменение свойств системы после замыкания обратной связи. Поскольку передаточная функция разомкнутой системы равна G = PR, а замкнутой Gcl = PR/(1+PR), то их отношение Gcl/G = S. Аналогично для разомкнутой системы передаточная функция от входа возмущений d на выход замкнутой системы равна (см. ) P(s)/(1 + P(s)R(s)), а разомкнутой - P(s), следовательно, их отношение также равно S. Для передаточной функции от входа шума измерений n на выход системы можно получить то же отношение S.

Таким образом, зная вид функции S(jщ) (например, рисунок 18), можно сказать, как изменится подавление внешних воздействий на систему для разных частот после замыкания цепи обратной связи. Очевидно, шумы, лежащие в диапазоне частот, в котором |S(jщ)| > 1, после замыкания обратной связи будут усиливаться, а шумы с частотами, на которых |S(jщ)| < 1, после замыкания обратной связи будут ослаблены.

Наихудший случай (наибольшее усиление внешних воздействий) будет наблюдаться на частоте максимума Ms модуля функции чувствительности (рисунок 18):

Максимум функции чувствительности можно связать с запасом устойчивости sm (рисунок 15). Для этого обратим внимание на то, что |1 + G(jщ)| представляет собой расстояние от точки [-1, j0] до текущей точки на годографе функции G(jщ). Следовательно, минимальное расстояние от точки [-1, j0] до

функции G(jщ) равно:

Сопоставляя (13) и (14), можно заключить, что sm = 1/Ms. Если с ростом частоты модуль G(jщ) уменьшается, то, как видно из рисунка 15, (1- sm) ? 1/gm. Подставляя сюда соотношение sm = 1/Ms, получим оценку запаса по усилению, выраженную через максимум функции чувствительности:

Аналогично, но с более грубыми допущениями можно записать оценку запаса по фазе через максимум функции чувствительности :

Например, при Ms = 2 получим gm ? 2 и? 29°.

Рисунок 18 - Функции чувствительности для системы с годографами, показанными на рисунке 13

Робастность - это способность системы сохранять заданный запас устойчивости при вариациях её параметров, вызванных изменением нагрузки (например, при изменении загрузки печи меняются её постоянные времени), технологическим разбросом параметров и их старением, внешними воздействиями, погрешностями вычислений и погрешностью модели объекта. Используя понятие чувствительности, можно сказать, что робастность - это низкая чувствительность запаса устойчивости к вариации параметров объекта.

Если параметры объекта изменяются в небольших пределах, когда можно использовать замену дифференциала конечным приращением, влияние изменений параметров объекта на передаточную функцию замкнутой системы можно оценить с помощью функции чувствительности (10). В частности, можно сделать вывод, что на тех частотах, где модуль функции чувствительности мал, будет мало и влияние изменений параметров объекта на передаточную функцию замкнутой системы и, соответственно, на запас устойчивости.

Для оценки влияния больших изменений параметров объекта представим передаточную функцию объекта в виде двух слагаемых:

P = P0 + ДP, (17)

где P0 - расчётная передаточная функция, ДP - величина отклонения от P0, которая должна быть устойчивой передаточной функцией. Тогда петлевое усиление разомкнутой системы можно представить в виде G = RP0 + RДP = G0 + RДP. Поскольку расстояние от точки [-1, j0] до текущей точки A на годографе невозмущённой системы (для которой ДP = 0) равно |1 + G0| (рисунок 19), условие устойчивости системы с отклонением петлевого усиления RДP можно представить в виде:

|RДP| < |1+G0|,

где T - дополнительная функция чувствительности (12). Окончательно можно записать соотношение:

которое должно выполняться, чтобы система сохраняла устойчивость при изменении параметров процесса на величину ДP(jщ).

Сокращение нулей и полюсов. Поскольку передаточная функция разомкнутой системы G = RP является произведением двух передаточных функций, которые в общем случае имеют и числитель, и знаменатель, то возможно сокращение полюсов, которые лежат в правой полуплоскости или близки к ней. Поскольку в реальных условиях, когда существует разброс параметров, такое сокращение выполняется неточно, то может возникнуть ситуация, когда теоретический анализ приводит к выводу, что система устойчива, хотя на самом деле при небольшом отклонении параметров процесса от расчётных значений она становится неустойчивой.

Поэтому каждый раз, когда происходит сокращение полюсов, необходимо проверять устойчивость системы при реальном разбросе параметров объекта.

Рисунок 19 - Пояснение к выводу соотношения (18)

Вторым эффектом сокращения полюсов является появление существенного различия между временем установления переходного процесса в замкнутой системе при воздействии сигнала уставки и внешних возмущений. Поэтому необходимо проверять реакцию синтезированного регулятора при воздействии не только сигнала уставки, но и внешних возмущений.

Безударное переключение режимов регулирования. В ПИД-регуляторах могут существовать режимы, когда их параметры изменяются скачком. Например, когда в работающей системе требуется изменить постоянную интегрирования или когда после ручного управления системой необходимо перейти на автоматический режим. В описанных случаях могут появиться нежелательные выбросы регулируемой величины, если не принять специальных мер. Поэтому возникает задача плавного («безударного») переключения режимов работы или параметров регулятора. Основной метод решения проблемы заключается в построении такой структуры регулятора, когда изменение параметра выполнятся до этапа интегрирования. Например, при изменяющемся параметре Ti = Ti (t) интегральный член можно записать в двух формах:

I(t) = или I(t) = .

В первом случае при скачкообразном изменении Ti (t) интегральный член будет меняться скачком, во втором случае - плавно, поскольку Ti (t) находится под знаком интеграла, значение которого не может изменяться скачком.

Аналогичный метод реализуется в инкрементной форме ПИД-регулятора (см. подраздел «Инкрементная форма цифрового ПИД-регулятора») и в последовательной форме ПИД-регулятора , где интегрирование выполняется на заключительной стадии вычисления управляющего воздействия.

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Для числовой оценки чувствительности используют функции чувствительности определяемые как частные производные от координат системы или показателей качества процессов управления по вариациям параметров: где координаты системы; параметр системы.93 можно записать Следовательно располагая функциями чувствительности и задаваясь вариациями параметров можно определить первое приближение для дополнительного движения.99 называются уравнениями чувствительности. Решение их дает функции чувствительности.

Чувствительность систем автоматического управления .

Параметры системы автоматического управления в процессе работы не остаются равными расчетным значениям. Это объясняется изменением внешних условий, неточностью изготовления отдельных устройств системы, старением элементов и т. п. Изменение параметров САУ, т. е. изменение коэффициентов уравнений системы, вызывает изменение статических и динамических свойств системы.

Зависимость характеристик системы от изменения каких-либо ее параметров оценивают чувствительностью. Под чувствительностью понимают свойство системы изменять режим работы вследствие отклонения каких-либо параметров от номинальных значений. Для числовой оценки чувствительности используют функции чувствительности, определяемые как частные производные от координат системы или показателей качества процессов управления по вариациям параметров:

где — координаты системы; — параметр системы.

Индекс 0 означает, что функция вычисляется при номинальных значениях параметров.

Система, значения параметров которой равны номинальным и не имеют вариаций, называется исходной системой, а движение в ней — основным движением. Система, в которой имеют место вариации параметров, называются варьированной системой, а движение в ней — варьированным движением. Разность между варьированным и основным движениями называют дополнительным движением.

Допустим, что исходная система описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений

Пусть в некоторый момент времени в системе произошли вариации параметров где тогда параметры станут равными. Если вариации параметров не вызывают изменения порядка уравнения, то варьированное движение описывается новой системой уравнений первого порядка

Разность решений уравнений (4.94) и (4.95) определяет дополнительное движение:

Если дифференцируемы по то дополнительное движение (4.96) можно разложить в ряд Тейлора по степеням При малых вариациях параметров ограничимся в разложении лишь линейными членами. Нужно отметить, что в случае конечных вариаций такое приближение недопустимо. Итак, можно записать уравнения первого приближения для дополнительного движения:

Учитывая формулу (4.93), можно записать

Следовательно, располагая функциями чувствительности и задаваясь вариациями параметров, можно определить первое приближение для дополнительного движения.

Продифференцируем уравнения исходной системы (4.94) по

Полученные линейные дифференциальные уравнения (4.99) называются уравнениями чувствительности. Решение их дает функции чувствительности. Следует заметить, что в силу

Рис. 4.42

сложности уравнений (4.99) их решение весьма затруднительно.

М. Л. Быховским предложен структурный метод построения модели для определения функций чувствительности .

Для определения функций чувствительности можно использовать уравнения системы или ее передаточные функции.

Пусть САУ описывается уравнением

где — собственный оператор системы;

— оператор воздействия

Запишем уравнения чувствительности, продифференцировав (4.100) по

при

По уравнению (4.101) можно представить структурную схему модели чувствительности для определения функции (рис. 4.42). Эту схему можно упростить.

Пусть общей частью операторов является оператор, а операторов — оператор. Тогда можно записать

Подставляя выражения (4.102) и (4.103) в (4.101), можно переписать уравнение чувствительности так:

Структурная схема модели чувствительности в соответствии с (4.104) показана на рис. 4.43. В этой модели выделена

Рис. 4.43

общая часть для определения всех функций. Дополнительные блоки модели (рис. 4.43) реализуют операторы, с общей частью они соединены переключателем П. Как видно из схемы рис. 4.43, функция чувствительности координаты х определяется последовательно во времени по всем параметрам. Для одновременного определения всех функций чувствительности по параметрам используем передаточные функции системы .

Выходная координата системы связана с задающим воздействием зависимостью

где — передаточная функция системы; — изображение по Лапласу выходной и входной величин.

Определим изображение функции чувствительности дифференцируя (4.105) по

где — передаточная функция элемента, параметром которого является

Рис. 4.44

Обозначим общую часть через тогда

а для функции чувствительности можно записать

или

На рис. 4.44 показана схема модели для одновременного определения функций чувствительности по параметрам. Рассмотренный метод позволяет упростить модель чувствительности за счет упрощения общей части модели, в частности общая часть может быть представлена пропорциональным звеном. Подобное упрощение модели используется в беспоисковых системах оптимизаций.

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать
19163.		Отдельные узлы низкотемпературных устройств	120.5 KB
	ОСНОВЫ КОНСТРУИРОВАНИЯ КРИОГЕННЫХ УСТРОЙСТВ Лекции 13 14 Отдельные узлы низкотемпературных устройств 13.1. Гелиевая емкость Гелиевая емкость рис. 13.1 является одним из основных узлов гелиевого криостата и состоит из трубки подвеса 1 крышки 2 обечайки 3 днища 4. Все
19164.		Компактные криорефрижераторы	615 KB
	ОСНОВЫ КОНСТРУИРОВАНИЯ КРИОГЕННЫХ УСТРОЙСТВ Лекция 15 Компактные криорефрижераторы В последнее время для получения низких температур все чаще стали использоваться компактные криорефрижераторы криокулеры. Основное преимущество этих устройств заключается в от
19165.		Элементы вакуумной техники	714 KB
	ОСНОВЫ КОНСТРУИРОВАНИЯ КРИОГЕННЫХ УСТРОЙСТВ Лекция 15 Элементы вакуумной техники Теплоизоляция криостатов как и всех систем предназначенных для работы с жидким гелием осуществляется вакуумированием сосудов. Поэтому разрабатываемые конструкции должны удовлетво
19166.		Введение. Технологичность конструкции	1.43 MB
	Лекция №1 Введение. Технологичность конструкции Технология искусство мастерство умение логия совокупность методов обработки изготовления изменения состояния свойств формы сырья материалов или полуфабриката осуществляемых в процессе производства проду
19167.		Обеспечение качества и эксплуатационной надежности изделий	1008.5 KB
	Лекция 2 Обеспечение качества и эксплуатационной надежности изделий Соответствие технических требований и норм точности служебному назначению Поскольку технические требования и нормы точности изделия являются отражением ее служебного назначения то приступая...
19168.		Топливные циклы ядерных реакторов. Материалы сердечника твэлов	48.5 KB
	Топливные циклы ядерных реакторов. Материалы сердечника твэлов Ядерным топливом принято считать материал содержащий нуклиды которые делятся при взаимодействии с нейтронами. Делящимися нуклидами являются: находящийся в природном уране изотоп 235U изотопы плутония 23...
19169.		Конструкционные материалы твэлов и ТВС	282 KB
	ЛЕКЦИЯ 4 Конструкционные материалы твэлов и ТВС В лекции рассматриваются конструкционные материалы используемые для оболочек твэлов. Оболочка твэла работает в очень сложных напряженных условиях в течение длительного времени при высоких параметрах теплоносител
19170.		Твэлы и ТВС энергетических реакторов	348 KB
	Лекция 5 Твэлы и ТВС энергетических реакторов В нашей стране разработаны и успешно эксплуатируются три типа энергетических реакторов: канальный водографитовый реактор РБМК1000 РБМК1500; корпусной реактор с водой под давлением ВВЭР1000 ВВЭР440; реактор н
19171.		Твэлы и ТВС исследовательских, транспортных и транспортабельных реакторов	1.84 MB
	Лекция 6 Твэлы и ТВС исследовательских транспортных и транспортабельных реакторов По сравнению с энергетическими реакторами к твэлам исследовательских и транспортных реакторов предъявляются дополнительные требования связанные со спецификой их эксплуатации: ...

Действительные значения параметров системы управления практически всегда отличаются от расчетных. Это может вызываться неточностью изготовления отдельных элементов, изменением параметров в процессе хранения и эксплуатации, изменением внешних условий и т. д.

Изменение параметров может привести к изменению статических и динамических свойств системы. Это обстоятельство желательно учесть заранее в процессе проектирования и настройки системы.

параметра,.

или мастные производные от используемого критерия качества / поэтому параметру,

Нулевым индексом сверху отмечено то обстоятельство, что частные производные должны приниматься равными значениям, соответствующим поминальным (расчетным) параметрам.

Функции чувствительности временных характеристик. Посредством этих функций чувствительности оценивается влияние малых отклонений параметров системы от расчетных значений на временные характеристики системы (переходную функцию, функцию веса и др.).

Исходной системой называют систему, у которой все параметры равны расчетным значениям и не имеют вариаций. Этой системе соответствует так называемое основное движение.

Варьированной системой называют такую систему у которой произошли вариации параметров. Движение ее называют варьированным движением.

Дополнительным движением называют разность между варьированным и основным движением.

Пусть исходная система описывается совокупностью нелинейных уравнений первого порядка

Если изменения параметров не вызывают изменения

порядка дифференциального уравнения, то варьированное движение будет описываться совокупностью уравнений

дополнительное движение можно разложить в ряд Тейлора.

Для малых вариаций параметров допустимо ограничиться линейными членами разложения. Тогда получим уравнения первого приближения для дополнительного движения

Частные производные, находящиеся в скобках, должны быть равны их значениям

Таким образом, первое приближение для дополнительного движения может быть найдено при известных функциях чувствительности. Заметим, что использование функций чувствительности удобнее для нахождения дополнительного движения по сравнению с прямой формулой (8.98), так как последняя во многих случаях может дать большие ошибки вследствие необходимости вычитать две близкие величины.

может оказаться необходимым использование второго приближения с удерживанием в ряде Тейлора, кроме линейных, также и квадратичных членов.

приводит к так называемым уравнениям чувствительности

Однако уравнения (8.100) оказываются сложными и решение их затруднительно. Более целесообразен путь структурного построения модели, используемой для нахождения функций чувствительности .

параметра.

В некоторых случаях функции чувствительности получаются дифференцированием известной функции времени па выходе системы. Так, если передаточная функция системы соответствует апериодическому звену второго порядка, то (см. табл. 4.2)

■ 1(0 па выходе будет

даст функцию чувствительности по этому параметру

Пусть рассматриваемая система описывается совокупностью уравнений первого порядка

то уравнениям (8.102) соответствуют нулевые начальные условия.

связана с задающим воздействием зависимостью

Изображение задающего воздействия.

Здесь введена функция чувствительности передаточной функции

Эти зависимости справедливы в том случае, когда вариация параметра а. не меняет порядка характеристического уравнения системы.

Может также использоваться так называемая логарифмическая функция чувствительности

a , А. И. Голиков a , Е. В. Хорошилова b

Аннотация: Рассматривается функция чувствительности, порожденная задачей выпуклого программирования, исследуются ее свойства монотонности, субдифференцируемости, замкнутости. Устанавливается связь с парето-оптимальным множеством оценок задачи многокритериальной выпуклой оптимизации. Выясняется ее роль в системах задач оптимизации. Установлено, что решение таких систем часто сводится к минимизации функции чувствительности на выпуклом множестве. Предлагаются численные методы решения таких задач, доказывается их сходимость. Библ. 20.

Ключевые слова: функция чувствительности, свойства функции чувствительности, многокритериальные выпуклые задачи оптимизации, сходимость численного алгоритма.

Англоязычная версия:
Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2011, 51 :12, 2000-2016

Реферативные базы данных:
Тип публикации: Статья
УДК: 519.658.4
Поступила в редакцию: 30.05.2011

Образец цитирования: А. С. Антипин, А. И. Голиков, Е. В. Хорошилова, “Функция чувствительности, ее свойства и приложения”, , 51 :12 (2011), 2126-2142 ; Comput. Math. Math. Phys. , 51 :12 (2011), 2000-2016

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{AntGolKho11}
\by А.~С.~Антипин, А.~И.~Голиков, Е.~В.~Хорошилова
\paper Функция чувствительности, ее свойства и приложения
\jour Ж. вычисл. матем. и матем. физ.
\yr 2011
\vol 51
\issue 12
\pages 2126--2142
\mathnet{http://mi.сайт/zvmmf9582}
\mathscinet{http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=2933399}
\transl
\jour Comput. Math. Math. Phys.
\yr 2011
\vol 51
\issue 12
\pages 2000--2016
\crossref{https://doi.org/10.1134/S0965542511120049}
\isi{http://gateway.isiknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=PARTNER_APP&SrcAuth=LinksAMR&DestLinkType=FullRecord&DestApp=ALL_WOS&KeyUT=000298356400002}
\scopus{http://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-84055223604}

Образцы ссылок на эту страницу:

http://mi.сайт/zvmmf9582

http://mi.сайт/rus/zvmmf/v51/i12/p2126

ОТПРАВИТЬ:

Эта публикация цитируется в следующих статьяx:

1. Ю. Г. Евтушенко, М. А. Посыпкин, “Метод неравномерных покрытий для решения задач многокритериальной оптимизации с гарантированной точностью”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ. , 53 :2 (2013), 209-224 ; Yu. G. Evtushenko, M. A. Posypkin, “Nonuniform covering method as applied to multicriteria optimization problems with guaranteed accuracy”, Comput. Math. Math. Phys. , 53 :2 (2013), 144-157
2. Э. М. Вихтенко, Н. Н. Максимова, Р. В. Намм, “Функционалы чувствительности в вариационных неравенствах механики и их приложение к схемам двойственности”, Сиб. журн. вычисл. матем. , 17 :1 (2014), 43-52 ; E. M. Vikhtenko, N. N. Maksimova, R. V. Namm, “A sensitivity functionals in variational inequalities of mechanics and their application to duality schemes”, Num. Anal. Appl. , 7 :1 (2014), 36-44
3. Ю. Г. Евтушенко, М. А. Посыпкин, “Метод неравномерных покрытий для решения задач многокритериальной оптимизации с заданной точностью”, Автомат. и телемех. , 2014, № 6, 49-68 ; Yu. G. Evtushenko, M. A. Posypkin, “Method of non-uniform coverages to solve the multicriteria optimization problems with guaranteed accuracy”, Autom. Remote Control , 75 :6 (2014), 1025-1040
4. А. В. Жильцов, Р. В. Намм, “Метод множителей Лагранжа в задаче конечномерного выпуклого программирования”, Дальневост. матем. журн. , 15 :1 (2015), 53-60