Основы информатики / 1.2. Множества




Определение множества
Множество - это совокупность элементов, объединенных по какому-либо признаку.
Например, множество яблок в корзине, домов в городе, учеников в классе и т.д.
Пустое множество - это множество, которое не содержит элементов.
Множества принято обозначать заглавными буквами:
A, B, C, D и т.д.
Элементы множеств принято обозначать строчными буквами: a, b, c, d и т.д.
Тот факт, что элемент a принадлежит множеству А записывается так:
a∈A,
в противном случае пишем
a∉A
Способы задания множеств
Множества можно задать перечислением всех элементов либо указанием свойства принадлежности.
Например можно сказать, что множество фруктов состоит из десяти яблок и пяти груш, то есть перечислив элементы.
Либо можно сказать, что множество высоких учеников класса состоит из тех, кто выше 160 см, то есть обозначив свойство.
Сравнение множеств
Множество A называется подмножеством множества B, если все элементы множества A содержатся во множестве B. Также множество B является надмножеством множества A.
B⊂A
Два множества называются равными, если они содержат одинаковые наборы элементов.
A=B
Объединением двух множеств называется множество, содержащее элементы обоих множеств.
А⋃В = {х | х∈А или х∈В}
Пересечением двух множеств называется множество, содержащее элементы, которые есть в обоих множествах.
А⋂В = {х | х∈А или х∈В}
Разностью множеств A и B называется множество, состоящее из всех элементов множества A, которых нет в множестве B.
А\В = {х | х∈А или х∈В}
Симметрической разностью множеств A и B называется множество, состоящее из всех элементов множества A, которых нет в множестве B и всех элементов множества B, которых нет в множестве A.
(А\B)⋃(B\A)
Свойства операций объединения и пересечения
Коммутативность: для любых множеств A и B верны равенства:
А⋃В=В⋃А;
А⋂В=В⋂А.
Ассоциативность: для любых множеств А, В, С верны равенства:
(А⋃В)⋃С=A⋃(В⋃С);
(A⋂B)⋂С=A⋂(В⋂С).
Дистрибутивность: для любых множеств А, B и С справедливы равенства:
A⋂(B⋃C)=(A⋂B)⋃(A⋂C);
A⋃(B⋂C)=(A⋃B)⋂(A⋃C).
В частности, для любого множества A имеем:
A⋃A=A, A⋂A=A;
A⋃∅=A, A⋂∅=∅.
Мощность множества
Количество элементов конечного множества называется его мощностью.
Мощность множества A обозначается как |A|.
Мощность объединения трех множеств А, В и С равна:
|A⋃B⋃C| = |A| + |B| + |C| - |A⋂B| - |A⋂C| - |B⋂C| + |A⋂B⋂C|
Числовые множества
N={1,2,3...} - множества натуральных чисел.
Z={0,±1,±2,±3...} - множества целых чисел, включает в себя множество натуральных, им противоположных и число 0.
Q - множество рациональных чисел.
Это числа, которые можно записать в виде дроби p/q, где p - целое число, q - натуральное. Таким образом любое рациональное число можно записать десятичной дробью — конечно или бесконечной периодической. Множество рациональных включает в себя множество целых чисел.
R - Множество всех вещественных чисел.
Иррациональные числа — это бесконечные непериодические дроби. К ним относятся:
число ⲡ — отношение длины окружности к её диаметру;
число e — названное в честь Эйлера и др.;
Вместе два множества (рациональных и иррациональных чисел) — образуют множество действительных (или вещественных) чисел.